1st class Intro - Review of Classical Mechanics(고전 역학 리뷰 - 라그랑지안 & 헤밀토니안)

이번 강의는 Classical Mechanics(고전역학)의 핵심적인 부분의 복습입니다.

(고전역학은 『Classical Dynamics of Particles and Systems - Thronton Marion』 & 『일반역학 - 강석태 역』 이 책으로 지난 학기와 15년도 1학기에 배웠습니다. 그 사이 공백은 군대..ㅠ)

일단 고전역학에서 Generalized coordinates를 정의합니다. 번역하면 일반화 좌표계인데 우리가 흔히 쓰는 직교좌표계(x,y,z)를 비롯하여 원통(r,θ,z), 구면(r,θ,φ) 등의 모든 좌표계에서의 위치를 그냥 Σqi 로 나타냅니다. 직교좌표계라면 qx+qy+qz 로 나타낼 수 있겠고, 원통이면 qr+qθ+qz 이런 식으로 나타낼 수 있죠. 이런 위치들을 Generalized locations(일반화 위치) 라고 합니다.

이 Generalized locations는 고정된 위치만을 나타낼 수 있기에, 위치의 이동을 표현해주는 운동을 기술할 물리량이 있어야 합니다.

얘네들은 Σpi 로 나타내고 Generalized momentum(일반화 운동량)이라 부릅니다.

그리고 프랑스의 Joseph Louis Lagrange 라는 사람이 일반화 위치와 운동량 사이의 관계를 밝혀내죠. 그 유명한 Lagrange equation 을 통해서요.

 

Lagrangean L = T-V (T : Kinetic Energy, V : Potential Energy)

Lagrange Eq.

위의 방정식으로부터

 

이 도출된다.

Lagrange Eq.을 풀면 우리가 원하는 운동방정식을 얻을 수 있고.. 이를 통해 웬만한 운동은 모두 기술할 수 있드앗!!!!!

그러나 Lagrange Eq.의 단점 아닌 단점이 한 가지 있었으니.. 에너지 보존 법칙으로 설명이 불가능하다..

그래서 등장하는 인물이 W.R.Hamilton 이다. Hamiltonian H = T+V 로 정립하여 에너지 보존 법칙으로 설명이 가능하게 Lagrangean L로 부터 유도해 낸 사람. 이 Hamiltonian을 통해 그 유명한 슈뢰딩거 파동방정식이 탄생한다.

그리고 이 식을 통해

이렇게 유도된다. 이 운동방정식을 Canonical motion equation(정준 운동 방정식)이라고 부른다.